乱花渐欲迷人眼

Feb 17

Jan 26

几何量子化

从数学上理解“量子化” 是数学物理的课题之一。应用量子理论来探索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做 “物理数学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个人来揣度 Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。在广义相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入几何框架，即所谓 $U(1)$ 规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的一种理解。

矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分析背景的 von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学，因为这种函数空间已经被 Hilbert 的学生 Schmidt 研究过，而大家普遍相信是 Hilbert 的思想引导了对这种函数空间的研究，所以 von Neumann 用了 Hilbert space 这个名字。据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于 Schmidt 本人。von Neumann 的名著〈量子力学的数学基础〉用分析和代数的结合体－－－算子代数来描述量子物理，他的基本定理是 Stone-von Neumann 定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数” $[Q,P]=\mathrm{i}\hbar$ 只有唯一的自伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标和动量分别表示为算子 $(Qf)(q)=q\,f(q), \quad Pf= -\mathrm{i}\hbar D_q f$ . 这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为 Hilbert 空间 $L^2$ 可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交换性”）。我个人认为最有希望切入量子化本质的“非交换几何”就是由 von Neumann 这一脉相承而来。 Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}I/\hbar}$ 加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫 Green 函数或基本解）， $\int_{\{\textrm{path}\ \omega\ \textrm{from a to b} \}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}I(\omega)/\hbar}\ \mathcal D\omega$ 的模方是粒子从 a 到 b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是 1，因而不能被视为概率密度。从这个角度来说，可观察量 $\mathcal O$ 的期望为什么是 $\frac{\int \mathcal O(\omega)\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}I(\omega)/\hbar}\ \mathcal D\omega}{\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}I(\omega)/\hbar}\ \mathcal D\omega}$ 是非常难以理解的一个巧合。

在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分在 non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。

在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会生活相关的重要应用。

对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关系。先从有限维自由度系统的量子化说起。最简单的是一维谐振子，其 Hamiltonian 是

$H= \frac{p^2}{2m} + \frac12 m\omega^2q^2$ .

经典相空间是余切丛 $(T^*\mathbb R, \ \Omega=dq\wedge dp)$ , 正则量子化把坐标和动量看成算子，满足交换关系

$[Q,P] = \mathrm{i} \hbar \{q,p\} = \mathrm{i} \hbar$ .

如果要求这个系统描述一个粒子的运动，态空间必须是不可约的，而以上交换关系的所有不可约表示都等价于前面提到的 Schrodinger 表示，表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标表示为乘法算子，动量表示为求导算子。Hamiltonian 现在成为一个线性微分算子，如果要求波函数在无穷远消失，Hamiltonian 的谱必须是离散的，而它本身是正定算子，所以存在最小本征值，所属的本征波函数代表的态叫做“真空”，可以显式解出。

从数学上来说，以上过程相当于先利用经典相空间上的辛形式定义出一个 Lie 代数 — Heisenberg 代数，再直接运用 Stone-von Neumann 定理写出 Heisenberg 代数的唯一自伴表示，表示空间里的真空态则由 Hamiltonian 的本征值问题给出。用物理学的说法，这相当于在 Schrodinger 表象或者（等价的）动量表象中进行计算。

现代量子力学教材上常见的是使用 Fock 表象，即构造复变量

$z=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left(q+\frac{\mathrm{i} p}{m\omega}\right)$ ,

正则量子化把这个复变量看作算子，满足 $[Z,\overline{Z}]=1$ . 如果有一态矢满足 $Z|0\rangle=0$ , 那么所有矢量 $\sum_{n=0}^\infty c_n\overline{Z}^n\ |0\rangle$ 组成以上交换关系的不可约表示，从而可以被视为单粒子系统的态空间。容易看到在 Schrodinger 表象下， $|0\rangle = \mathrm{e}^{m\omega q^2/2\hbar}$ 满足以上湮灭方程，既然对所有多项式 p, $p(\overline{Z})\ \mathrm{e}^{m\omega q^2/2\hbar} \in L^2(\mathbb R)$ , 而且它们组成稠密子集，所以从代数上构造的 Fock space 可以等同于从分析上构造的 Schrodinger 表示空间。

从数学上来说，Fock 表象相当于在经典相空间上选取了一个“复结构”，使经典相空间成为一个复空间，而系统的态空间可以视为这个复空间上所有的“反全纯函数”组成的空间。这个空间如果要跟 Schrodinger 表象中的平方可积空间保持一致，我们选取的这个复结构就最好跟原来的辛结构有很密切的关系，这种“好”的复结构叫做辛空间上的“相容复结构”，后面再详细说明。

以上这两种从经典相空间构造态空间和真空态的方式，在数学中被总结为“实极化”和“复极化”，这里的“极化”当然跟物理学里的“极化”没有任何关系，我不知道这个名称的来源是什么。（待续）续写见新繁星客栈之望月殿 http://www.fxkz.net/forumdisplay.php?fid=4&page=1

Dec 06

图论小问题

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图都可以嵌入三维欧氏空间吗？

Nov 24

Combinatorics of dimer

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Combinatorics of dimer

Short summary of relevant definitions
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Nov 06

Polygon gluing and matrix integrals

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Oct 29

Regge Symmetry

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Oct 27

繁星客栈关闭

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回头看在繁星上写的科普文章, 还是有很多错误在里头. 比较想备份的只有非交换几何的一篇. 以后这里就是写科普的基地了.

Oct 18

歇口气

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终于把 proposal 的 project description 部分搞完了, 不容易啊, 一通胡吹大气, 写到最后真心虚. 接下来干脆花点时间把所有参考文献做成一个 .bib , 一劳永逸. 这两天琢磨狭义相对论, 发现以前的理解漏洞真多, 搞得晚上睡不踏实. 今天算是想了一个能说服自己的办法, 看下周能不能去说服讨论班的人.

Oct 17

SL(2,C) 的表示

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Let a general element of $SL_2\mathbb C$ be $g= \left(\begin{array}{c}a \ b \\ c \ d \end{array}\right)$ .

Full principal series (indexed by $k\in\mathbb Z, \ w\in\mathbb C$ ):

$(T_g^{k, w} f) (z) = |-bz+d|^{-2- w} \left(\displaystyle\frac{-bz+d}{|-bz+d|}\right)^{-k} f\left(\displaystyle\frac{az-c}{-bz+d}\right)$

where $f\in L^2\Big(\mathbb C,\ \frac{\mathrm{i}}{2}(1+|z|^2)^{\mathrm{Re}(w)}dz d\bar{z}\Big)$

It includes two unitary series:

Unitary principal series: when $w= \mathrm{i} v$ for some $v\in\mathbb R$ . In this series $T^{k, \mathrm{i}v} \cong T^{-k, -\mathrm{i}v}$ as unitary representations.

Complementary series: when $k=0, \ 0<w<2$ , the above representatation becomes unitary w.r.t. the inner product

$(f,h) = \left(\frac{\mathrm{i}}{2}\right)^2\displaystyle\int_\mathbb C \displaystyle\int_\mathbb C \displaystyle\frac{f(z)\overline{h(\zeta)}}{|z-\zeta|^{2-w}} dzd\bar{z}d\zeta d\bar{\zeta}$

The trivial representation, the unitary principal series, and the complementary series are the only irreducible unitary representations of $SL_2\mathbb C$ .

Oct 16

Fundamental groups and finte groups

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Let $\Sigma$ be a closed surface of genus $g$ . Its fundamental group $\pi(\Sigma)$ has generators $x_1,y_1,\dots, x_g,y_g$ satisfying the relation
$(1)\ \ x_1y_1x_1^{-1}y_1^{-1}\dots x_gy_gx_g^{-1}y_g^{-1}=1.$

Let $G$ be a finite group. The question is how many homomorphisms there are form $\pi(\Sigma)$ to $G.$ Or equivalently how many solutions the equation (1) has in the group $G.$ The answer is the following theorem due to A. D. Mednykh [S]:

Theorem: The number of solutions of (1) in $G$ is
$|G|^{2g-1}\sum_{\rho}(\dim \rho)^{2g-2},$
where the sum runs over all the complex irreducible representation of $G.$

This result relates to the moduli space of flat connections evaluated in a finite group.

[S] A. N. Sengupta, A functional integral applied to topology and algebra, XIVth International Congress on mathematical physics, World Scientific, 2005, 527-532

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