弦外之音

Jan 18

Floer 同调简述

先说 Morse.

n 维紧致光滑流形上一个函数 $f:M \to \mathbb R$ 的临界点是使 $df(x) =0$ 的点, 即 $\partial f/\partial x^i =0$ . 在临界点, 二阶导数组成的 Hessian 矩阵是一个二阶协变张量. 如果每个临界点处的 Hessian 矩阵都非退化, 则 $f$ 叫 Morse 函数. Morse 函数是流形上光滑函数的常态, 就是说, 随机取一个光滑函数, 几乎肯定是 Morse 函数. 严格来说, 它们组成光滑函数空间里的稠密开集. 在临界点附近, 沿着 Hessian 矩阵的正特征值对应的特征方向, 函数值增大, 沿着负特征值对应的特征方向函数值减小. 临界点的 Morse 指数 $p$ 就是负特征值的个数 (计算重数).

固定一个 Morse 函数 $f$ . 取流形上一个黎曼度量 $g$ . 则微分 $df$ 可以通过度量对应到切矢量场 $\nabla f$ . 由于流形紧致, 切矢量场生成单参数变换群 $\phi_t$ , 称为 $f$ 的梯度流. 得到它的过程是, 在局部解常微分方程
$\frac{dx^i}{dt} = g^{ij} \,\frac{\partial f}{\partial x^j}$
然后把积分曲线整体拼接起来. 流形被积分曲线充满. 每条积分曲线在 $t\to \pm \infty$ 时收敛到临界点. 从临界点 $x$ 出发的积分曲线并起来, 加上这个临界点本身, 拓扑上是一个 $n-p$ 维开圆盘, 称为 “升圆盘” $D_{x+}^{n-p}$ . 在 $x$ 终结的积分曲线的并加上这个临界点本身, 拓扑上是一个 $p$ 维开圆盘, 称为 “降圆盘” $D_{x-}^p$ . 这样, 流形被各维数的升圆盘和降圆盘充满. 所有升圆盘或者所有降圆盘都构成流形的一个 “胞腔结构”.

一个光滑函数和一个度量在一起称为 Morse-Smale, 如果 $f$ 是 Morse 函数, 而且其梯度流决定的升圆盘降圆盘之间相交的情况良好, 即,
$\mathrm{dim} \, D_+^m \cap D_-^k = m+k -n$
或者说, “横截相交”. 直观上说, 就是除了总维数的限制以外没有多余的维数重叠. 微分拓扑的定理保证, 横截相交的交集仍然是光滑流形. 如果临界点 $x$ 和临界点 $y$ 的 Morse 指数相差 1, 且从 $x$ 到 $y$ 的积分曲线非空, 则由维数公式, 这些积分曲线并成 1 维流形, 说明这些积分曲线是孤立的, 可以计数. 在计数的时候, 需要考虑到圆盘相交处的定向问题, 所以有些积分曲线被记为负.

现在, 把注意力放在一个临界点 $y$ 上. 定义它的 “边界” 为 Morse 指数比它小 1 的临界点 $x_1,\cdots, x_k$ 的系数组合,
$\partial y = \sum_{i=1}^k c_i x_i$
系数 $c_i$ 就是从 $x_i$ 到 $y$ 的积分曲线的定向计数. 把 Morse 指数为 $p$ 的临界点的所有整系数组合记为 $C_p$ , 逐项求边界, 得到一串映射
$C_n \stackrel{\partial}{\longrightarrow} C_{n-1} \stackrel{\partial}{\longrightarrow} \cdots \stackrel{\partial}{\longrightarrow} C_1 \stackrel{\partial}{\longrightarrow} C_0$
它实际上是一个链复形, 即, 满足 $\partial^2 = 0$ . 其原因如下: 如果临界点 $y$ 的 Morse 指数为 $p$ , 比 $z$ 大 2, 那么它们之间的积分曲线并成一个二维流形. 模掉积分曲线的平移, 即把每条积分曲线视为一个元素, 则这两点之间 “积分曲线的集合” 是一个一维流形. 应用一维光滑流形的分类, 它是一些圆圈和一些开区间的并. 由于求一次边界的结果是一些指数为 $p-1$ 的临界点, 所以一圈积分曲线对两次求边界没有贡献. 而每个开区间的两端可以加上边界点, 这两个边界点正好代表两条 “折断” 的积分曲线, 即, 中间通过了指数 $p-1$ 的临界点. 这两个 “中间临界点” 的贡献在两次求边界的结果中正好互相抵消 (定向相反) . 这样就证明了以上映射串是一个链复形, 从而可以定义同调群. 如果要证明如此定义的同调群不依赖于 Morse-Smale 设置, 就要对不同的函数和度量定义的链复形构造 “链同伦”, 这并非一件难事.

利用 CW-复形工具, 也容易证明以上构造的同调群实际上同构于流形 $M$ 的奇异同调群.

第二段说说 Witten.

同样对 Morse-Smale 函数和度量, Witten 定义了微分算子
$d_\lambda := e^{-\lambda f}d\, e^{\lambda f}$
当 $\lambda=0$ 时, 它就是外微分算子. 外微分算子定义了 de Rham 同调, 加上它在度量下的伴随算子, 又定义 Laplace 算子
$\Delta = dd^*+d^*d$ . 这个算子的零空间里的微分形式称为 “调和形式”, 它们 1-1 对应到 de Rham 同调类. 这是 Hodge 理论. 现在, 新定义的算子 $d_\lambda$ 同它的伴随算子一起, 构成新的 Laplace 算子 $\Delta_\lambda = d_\lambda d^*_\lambda + d_\lambda^* d_\lambda$ . 这个算子的零空间给出新的 “调和形式” 空间, 并且同原来的 Laplace 算子定义的调和形式空间同构. 所以, 这是一族变形的 de Rham 和 Hodge 理论. 当 $\lambda \to \infty$ 时, 这些新调和形式集中于函数 $f$ 的临界点, 它们代表粒子的稳定态. 而由于量子效应, 稳定态之间有所谓 “隧道穿透” 效应. 实现这个效应的 “瞬子” 就是连接两个稳定态的积分曲线. 而新的外微分 $d_\lambda$ 正好给出到 Morse 指数小 1 的临界点的边界算子, 即, 记录 “瞬子” 个数. 因而在 $\lambda\to \infty$ 时, Hodge 理论成为 Morse 理论.

Witten 指出, 新的 Laplace 算子 $\Delta_\lambda$ 是一维超对称 $\sigma$ 模型的哈密顿量. 即, 一个粒子在超对称流形 $M$ 里自由运动的量子力学描述. 从物理的角度, 它只是一个非常简单的模型, 如果把粒子换成弦, 就得到更丰富的理论, 二维超对称非线性 $\sigma$ 模型. 这个模型同样对应着 Morse 理论, 然而, 此时的稳定态并不对应到流形 $M$ 上的临界点, 而是弦的某个位形, 即, 流形的 “回路空间” $LM$ 中的点. 此时的 Morse 函数其实是泛函, 而外微分, 微分算子等都是在一个无穷维的黎曼流形中讨论.

现在来说 Floer.

Floer 应该多少受到了 Witten 的启发, 但即便没有 Witten, 他也应该能够发现以他名字命名的同调理论. 他做的是无穷维的 Morse 理论. 其实, 无穷维的 Morse 理论并不是什么新东西. Morse 最初就是在无穷维空间 — 黎曼流形的道路空间上工作. 只是, 在 Floer 之前数学家们能处理的例子, 即便是无穷维, 每个临界点处的 “降圆盘” 都是有限维的, 或者说, Morse 指数都是有限的. 这就使得这些例子本质上跟有限维流形上的 Morse 理论没有什么差别. Floer 认识到, 对于一类无穷维流形上的函数, 虽然临界点的 Morse 指数是无穷, 但临界点之间的梯度流可以是有限维. 对于这些例子, Floer 发展了一整套处理方法, 主要的目的是:

(1) 证明临界点之间的梯度流线构成光滑流形. 这需要偏微分方程的方法. 因为此时梯度流线连接的是两个函数 (弦位形).

(2) 证明如果梯度流线构成一维流形(开区间), 那么可以添加端点, 即一族梯度流在两端收敛到 “折断” 的梯度流线. 在无穷维位形空间的梯度流线一般对应到 $M$ 里的几何对象, 比如极小曲面, 自对偶联络等.

(3) 证明一条 “折断” 的梯度流线可以 “粘合” 成一族梯度流线. 关于这个程序, 我还不理解为什么. 需要其他人来解释.

这些处理其实都是为了把链复形定义好. 证明链复形的链同伦类不依赖于额外数据的选取, 也有一套标准程序.

Floer 主要研究了两个这种例子:

(1) 开弦在辛流形中运动, 两端限制在两个 Lagrange 子流形上. 取一个跟辛结构相容的近复结构, 辛流形成为黎曼流形. Morse 函数定义为开弦单位时间扫过的面积. “临界点” 是开弦的稳定状态, 即停在两个 Lagrange 子流形的交点上的开弦, “梯度流线” 是开弦划出的两个 Lagrange 子流形之间, 从一个交点到另一个交点的叶状的 “赝全纯条带”.

(2) 三维流形 $Y$ 上的 $SU(2)$ 规范场. Morse 函数定义为 Chern-Simons 泛函. “临界点” 是 $M$ 上的 $SU(2)$ 平坦联络, 要使临界点非退化, 必要条件是 1 维同调群为 0 , 所以这个理论只在三维同调球面上定义. “梯度流线” 是四维流形 $Y\times \mathbb R$ 上的自对偶联络, 它在 $\mathbb R$ 方向的左右极限分别是 $Y$ 上两个平坦联络.

Apr 15

最近两篇关于体积猜想的文章

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一篇是 Gukov 和 Zagier 等人的 Exact results for perturbative Chern-Simons theory with complex gauge groups. 继续了 Gukov 自己在2003年的工作, 给出了关于任意圈 Feynmann 图计算结果的猜想. 并且比较了三种得到此结果的方法, 一种是用鞍点方法直接计算 Feynmann 积分; 第二种是用正则量子化, 通过比较传统量子不变量得到约束方程, 然后递归解出各阶微扰项; 第三种是利用双曲流形的理想单形剖分, 构造类似于 Turaev-Viro 或者 Kashaev 的不变量, 其重要构成成份是二次对数函数, 从而必然同双曲体积有紧密联系. 他们利用计算机算出了8字结的前面几阶微扰项, 证实三种方法得到的微扰不变量一致.他们还进一步猜想所有项都应该是代数数.

不过这仍然不能看作是对体积猜想的一般证明. 其中的分析困难, 即鞍点方法的严密性仍然有待细致检查.

第二篇是关于拓扑弦论的.

Jan 26

几何量子化

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从数学上理解“量子化” 是数学物理的课题之一。应用量子理论来探索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做 “物理数学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个人来揣度 Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。在广义相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入几何框架，即所谓 $U(1)$ 规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的一种理解。

矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分析背景的 von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学，因为这种函数空间已经被 Hilbert 的学生 Schmidt 研究过，而大家普遍相信是 Hilbert 的思想引导了对这种函数空间的研究，所以 von Neumann 用了 Hilbert space 这个名字。据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于 Schmidt 本人。von Neumann 的名著〈量子力学的数学基础〉用分析和代数的结合体－－－算子代数来描述量子物理，他的基本定理是 Stone-von Neumann 定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数” $[Q,P]=\mathrm{i}\hbar$ 只有唯一的自伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标和动量分别表示为算子 $(Qf)(q)=q\,f(q), \quad Pf= -\mathrm{i}\hbar D_q f$ . 这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为 Hilbert 空间 $L^2$ 可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交换性”）。我个人认为最有希望切入量子化本质的“非交换几何”就是由 von Neumann 这一脉相承而来。 Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 $\mathrm{e}^{\mathrm{i}I/\hbar}$ 加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫 Green 函数或基本解）， $\int_{\{\textrm{path}\ \omega\ \textrm{from a to b} \}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}I(\omega)/\hbar}\ \mathcal D\omega$ 的模方是粒子从 a 到 b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是 1，因而不能被视为概率密度。从这个角度来说，可观察量 $\mathcal O$ 的期望为什么是 $\frac{\int \mathcal O(\omega)\ \mathrm{e}^{\mathrm{i}I(\omega)/\hbar}\ \mathcal D\omega}{\int \mathrm{e}^{\mathrm{i}I(\omega)/\hbar}\ \mathcal D\omega}$ 是非常难以理解的一个巧合。

在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分在 non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。

在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会生活相关的重要应用。

对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关系。先从有限维自由度系统的量子化说起。最简单的是一维谐振子，其 Hamiltonian 是

$H= \frac{p^2}{2m} + \frac12 m\omega^2q^2$ .

经典相空间是余切丛 $(T^*\mathbb R, \ \Omega=dq\wedge dp)$ , 正则量子化把坐标和动量看成算子，满足交换关系

$[Q,P] = \mathrm{i} \hbar \{q,p\} = \mathrm{i} \hbar$ .

如果要求这个系统描述一个粒子的运动，态空间必须是不可约的，而以上交换关系的所有不可约表示都等价于前面提到的 Schrodinger 表示，表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标表示为乘法算子，动量表示为求导算子。Hamiltonian 现在成为一个线性微分算子，如果要求波函数在无穷远消失，Hamiltonian 的谱必须是离散的，而它本身是正定算子，所以存在最小本征值，所属的本征波函数代表的态叫做“真空”，可以显式解出。

从数学上来说，以上过程相当于先利用经典相空间上的辛形式定义出一个 Lie 代数 — Heisenberg 代数，再直接运用 Stone-von Neumann 定理写出 Heisenberg 代数的唯一自伴表示，表示空间里的真空态则由 Hamiltonian 的本征值问题给出。用物理学的说法，这相当于在 Schrodinger 表象或者（等价的）动量表象中进行计算。

现代量子力学教材上常见的是使用 Fock 表象，即构造复变量

$z=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\ \left(q+\frac{\mathrm{i} p}{m\omega}\right)$ ,

正则量子化把这个复变量看作算子，满足 $[Z,\overline{Z}]=1$ . 如果有一态矢满足 $Z|0\rangle=0$ , 那么所有矢量 $\sum_{n=0}^\infty c_n\overline{Z}^n\ |0\rangle$ 组成以上交换关系的不可约表示，从而可以被视为单粒子系统的态空间。容易看到在 Schrodinger 表象下， $|0\rangle = \mathrm{e}^{m\omega q^2/2\hbar}$ 满足以上湮灭方程，既然对所有多项式 p, $p(\overline{Z})\ \mathrm{e}^{m\omega q^2/2\hbar} \in L^2(\mathbb R)$ , 而且它们组成稠密子集，所以从代数上构造的 Fock space 可以等同于从分析上构造的 Schrodinger 表示空间。

从数学上来说，Fock 表象相当于在经典相空间上选取了一个“复结构”，使经典相空间成为一个复空间，而系统的态空间可以视为这个复空间上所有的“反全纯函数”组成的空间。这个空间如果要跟 Schrodinger 表象中的平方可积空间保持一致，我们选取的这个复结构就最好跟原来的辛结构有很密切的关系，这种“好”的复结构叫做辛空间上的“相容复结构”，后面再详细说明。

以上这两种从经典相空间构造态空间和真空态的方式，在数学中被总结为“实极化”和“复极化”，这里的“极化”当然跟物理学里的“极化”没有任何关系，我不知道这个名称的来源是什么。（待续）续写见新繁星客栈之望月殿 http://www.fxkz.net/forumdisplay.php?fid=4&page=1

Dec 06

图论小问题

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图都可以嵌入三维欧氏空间吗？

Nov 24

Combinatorics of dimer

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Combinatorics of dimer

Short summary of relevant definitions
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Nov 06

Polygon gluing and matrix integrals

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Oct 29

Regge Symmetry

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Regge Symmetry

Oct 27

繁星客栈关闭

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回头看在繁星上写的科普文章, 还是有很多错误在里头. 比较想备份的只有非交换几何的一篇. 以后这里就是写科普的基地了.

Oct 18

歇口气

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终于把 proposal 的 project description 部分搞完了, 不容易啊, 一通胡吹大气, 写到最后真心虚. 接下来干脆花点时间把所有参考文献做成一个 .bib , 一劳永逸. 这两天琢磨狭义相对论, 发现以前的理解漏洞真多, 搞得晚上睡不踏实. 今天算是想了一个能说服自己的办法, 看下周能不能去说服讨论班的人.

Oct 17

SL(2,C) 的表示

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Let a general element of $SL_2\mathbb C$ be $g= \left(\begin{array}{c}a \ b \\ c \ d \end{array}\right)$ .

Full principal series (indexed by $k\in\mathbb Z, \ w\in\mathbb C$ ):

$(T_g^{k, w} f) (z) = |-bz+d|^{-2- w} \left(\displaystyle\frac{-bz+d}{|-bz+d|}\right)^{-k} f\left(\displaystyle\frac{az-c}{-bz+d}\right)$

where $f\in L^2\Big(\mathbb C,\ \frac{\mathrm{i}}{2}(1+|z|^2)^{\mathrm{Re}(w)}dz d\bar{z}\Big)$

It includes two unitary series:

Unitary principal series: when $w= \mathrm{i} v$ for some $v\in\mathbb R$ . In this series $T^{k, \mathrm{i}v} \cong T^{-k, -\mathrm{i}v}$ as unitary representations.

Complementary series: when $k=0, \ 0<w<2$ , the above representatation becomes unitary w.r.t. the inner product

$(f,h) = \left(\frac{\mathrm{i}}{2}\right)^2\displaystyle\int_\mathbb C \displaystyle\int_\mathbb C \displaystyle\frac{f(z)\overline{h(\zeta)}}{|z-\zeta|^{2-w}} dzd\bar{z}d\zeta d\bar{\zeta}$

The trivial representation, the unitary principal series, and the complementary series are the only irreducible unitary representations of $SL_2\mathbb C$ .

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