乱花渐欲迷人眼

从数学上理解“量子化” 是数学物理的课题之一。应用量子理论来探索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做 “物理数学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个人来揣度 Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。 在广义相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入几何框架，即所谓 规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的一种理解。 

矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分析背景的 von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学，因为这种函数空间已经被 Hilbert 的学生 Schmidt 研究过，而大家普遍相信是 Hilbert 的思想引导了对这种函数空间的研究，所以 von Neumann 用了 Hilbert space 这个名字。 据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于 Schmidt 本人。von Neumann 的名著〈量子力学的数学基础〉用分析和代数的结合体 －－－ 算子代数来描述量子物理，他的基本定理是 Stone-von Neumann 定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数” 只有唯一的自伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标和动量分别表示为算子 .  这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为 Hilbert 空间 可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交换性”）。我个人认为最有希望切入量子化本质的“非交换几何”就是由 von Neumann 这一脉相承而来。 Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫 Green 函数或基本解）， 的模方是粒子从 a 到 b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是 1，因而不能被视为概率密度。从这个角度来说，可观察量 的期望为什么是 是非常难以理解的一个巧合。

在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分在 non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。

在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会生活相关的重要应用。

对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关系。 先从有限维自由度系统的量子化说起。最简单的是一维谐振子，其 Hamiltonian 是

.

经典相空间是余切丛 , 正则量子化把坐标和动量看成算子，满足交换关系

.

如果要求这个系统描述一个粒子的运动，态空间必须是不可约的，而以上交换关系的所有不可约表示都等价于前面提到的 Schrodinger 表示，表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标表示为乘法算子，动量表示为求导算子。Hamiltonian 现在成为一个线性微分算子，如果要求波函数在无穷远消失，Hamiltonian 的谱必须是离散的，而它本身是正定算子，所以存在最小本征值，所属的本征波函数代表的态叫做“真空”，可以显式解出。

从数学上来说，以上过程相当于先利用经典相空间上的辛形式定义出一个 Lie 代数 — Heisenberg 代数，再直接运用 Stone-von Neumann 定理写出 Heisenberg 代数的唯一自伴表示，表示空间里的真空态则由 Hamiltonian 的本征值问题给出。用物理学的说法，这相当于在 Schrodinger 表象或者（等价的）动量表象中进行计算。

现代量子力学教材上常见的是使用 Fock 表象，即构造复变量 

,

正则量子化把这个复变量看作算子，满足 . 如果有一态矢满足 , 那么所有矢量 组成以上交换关系的不可约表示，从而可以被视为单粒子系统的态空间。容易看到在 Schrodinger 表象下， 满足以上湮灭方程，既然对所有多项式 p, , 而且它们组成稠密子集，所以从代数上构造的 Fock space 可以等同于从分析上构造的 Schrodinger 表示空间。

从数学上来说，Fock 表象相当于在经典相空间上选取了一个“复结构”，使经典相空间成为一个复空间，而系统的态空间可以视为这个复空间上所有的“反全纯函数”组成的空间。这个空间如果要跟 Schrodinger 表象中的平方可积空间保持一致，我们选取的这个复结构就最好跟原来的辛结构有很密切的关系，这种“好”的复结构叫做辛空间上的“相容复结构”，后面再详细说明。

以上这两种从经典相空间构造态空间和真空态的方式，在数学中被总结为“实极化”和“复极化”，这里的“极化”当然跟物理学里的“极化”没有任何关系，我不知道这个名称的来源是什么。  （待续）    续写见新繁星客栈之望月殿 http://www.fxkz.net/forumdisplay.php?fid=4&page=1 

图都可以嵌入三维欧氏空间吗？

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Combinatorics of dimer

Short summary of relevant definitions
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Polygon gluing and matrix integrals

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Regge Symmetry

Let a general element of be .

Full principal series (indexed by ):

where

It includes two unitary series:

Unitary principal series: when for some . In this series as unitary representations.

Complementary series: when , the above representatation becomes unitary w.r.t. the inner product

The trivial representation, the unitary principal series, and the complementary series are the only irreducible unitary representations of .

Let be a closed surface of genus . Its fundamental group has generators satisfying the relation

Let be a finite group. The question is how many homomorphisms there are form to Or equivalently how many solutions the equation (1) has in the group The answer is the following theorem due to A. D. Mednykh [S]:

Theorem: The number of solutions of (1) in is

where the sum runs over all the complex irreducible representation of

This result relates to the moduli space of flat connections evaluated in a finite group.

[S] A. N. Sengupta, A functional integral applied to topology and algebra, XIVth International Congress on mathematical physics, World Scientific, 2005, 527-532

Mobius带为什么不能immerse到二维平面上?

黎曼几何，就是1854年黎曼为了哥廷根大学的一个讲师职位准备的讲稿中创立的学问。似乎从这次演讲之后黎曼就再也没有在 这个课题上花什么时间。我猜想黎曼这次演讲纯粹是为了讨高斯的欢心，准备的三个题目都是高斯当时非常关心的问题。至于黎曼本人，反而对数论和复变函数更有 兴趣一些。黎曼这篇讲稿只有一个数学公式，就是下面这个公式：

这个公式看上去很普通，没有什么奇怪的符号。黎曼本人并没有解释这个公式是怎么来的，后人从一些基本设置出发得到这个公式花了大约40年。

我 试试解释这个公式。首先我们要假定这个世界上有一种爬虫，它们的视觉只能获得二维信息，或者说它们只能感觉到前后左右，而不能感觉到上下（这个假设其实同 时把引力忽略了，因为引力可以让爬虫感觉到上下）。这些爬虫住在山村里。这些村里的道路结构比较简单，分为大致东西向的和大致南北向的两类。有个爬虫想更 迅速地找到同村的别的人家，比较自然的办法当然是做一个村里的地图了。这个地图画在一张纸上，大致为东西向的那些道路被画成跟 x-轴平行的直线，而大致为南北向的那些道路被画成跟 y-轴平行的直线。这样村里每一处地方都被一对坐标 (x,y) 表示了。

然后这 个爬虫想，我怎么能最快地从一个地方到另一个地方去？沿着那些道路爬肯定不行，大家都知道三角形两边之和大于第三边，所以肯定要从道路之间地野地里爬过 去。它在地图上找到这个两个地方对应的两个点，然后连了一条直线，它希望如果沿着地图上这条直线的指示，它能最快地从一个地方到另一个地方去。

但 是奇怪的事情发生了，它发现有时候沿着地图上这条直线的指示，它花的时间反而要比平时凭感觉爬的时候花的时间多。它开始研究这个问题。首先当然是做实验 了，选定两个地方，比如它家和它女朋友家，然后每条路都试爬一下，计算时间（当然要假定它的爬速总是一定的）。经过多次实验，它找到了一条耗时最短的道 路。然后它在地图上画出这条最短道路，正如所料，这条最短道路在地图上是弯的。

它想，这种弯曲也许是由测量的误差累积造成的，因为它女朋 友家离它家比较远。所以它决定就在自家门口做实验。它从某一地点 p 出发，先沿着地图上的x-方向爬 dx 距离, 再沿着地图上的 y-方向爬 dy 距离, 到达一地点 q, 然后它找到一条最短的道路爬回 p, 认识到 p 和 q 之间的距离 ds 不等于 。它继续做实验，让 dx 和 dy 取不同的值，这样它找到了规律（函数关系）：。紧接着它发现，这些 的值跟它的出发点的位置有关系，也就是说，这些 是坐标 的函数。综上所述，我们发现某个地点 p 周围的点到 p 的距离 ds（即最短路径的长度）跟 p 这一地点在地图上的坐标 的函数关系 。

1820 年的高斯就是一个在深山里想象爬虫的人，他从“外部”观察到了曲面（比如山峰之间像马鞍形状的那一部分表面）的弯曲性质，因为我们人类不只可以画“地 图”，还能画“地形图”，就是说，我们能使用三个坐标来描述曲面；高斯同时也想象到了爬虫从“内部”观察到曲面的方法，即，只使用两个坐标（爬虫的地 图）。然后他证明了他自己所谓“绝妙定理”，大意就是说我们人类用眼睛看得见的某种弯曲性质（高斯曲率），爬虫们在曲面上爬来爬去就能知道了。

用 数学语言就是说，曲面的高斯曲率不因为曲面在三维空间中呈现的形状不同而改变，而只跟曲面内在的距离性质有关。最简单的例子就是，一张纸，平放着也好，卷 成一个圆柱也好，卷成一个圆锥也好，它的高斯曲率都是0。在计算高斯曲率方面，爬虫比我们更有利：这张纸在空间怎么卷曲，对纸上的爬虫来说，任何两点之间 的距离没有任何改变，因此它们对高斯曲率的计算在这些情况下都是一样的，而我们人类的计算过程则跟曲面在空间中的形态有关。

黎曼呢，把自 己想象成了爬虫，对他而言，不存在高斯所陈述的那种三维空间的人类几何学和二维空间的爬虫几何学之间的关系。在黎曼看来，这个宇宙相对于我们人类就好比曲 面相对于爬虫。我们通过飞来飞去来探测宇宙的弯曲性质。当然，黎曼不止是想到了做三维的爬虫，他想到了作为 m 维的爬虫，怎么描述所在“高维空间”的几何。他在就职演讲中向大家说明，一个“均匀弯曲”的 m 维空间（其每一地点的所有方向的高斯曲率都是一个常数 K），如果我们画一个地图（现在不能说一张地图因为不再是二维的空间），每一个地点用 m 个坐标 来表示，那么距离微元 ds 跟坐标的函数关系就应该是开篇第一个公式。