从数学上理解“量子化” 是数学物理的课题之一。应用量子理论来探索新的数学对象和新的数学性质，根据某些学者提议，可以叫做 “物理数学”。自从量子力学诞生，数学家就一直在思索量子化的数学本质。我个人来揣度 Weyl 当初对量子化的理解，可以说是用代数来细化几何。 在广义相对论提出以后，量子力学尚在酝酿之时，Weyl 已经试图把电磁学纳入几何框架，即所谓 规范场论。在他看来，经典物理基础理论对应于几何。矩阵力学和波动力学出现以后，Weyl 第一个从数学上描述了量子力学，这就是他的著作《群论与量子力学》，他的语言基本上是当时的抽象代数。“经典物理用几何描述, 量子物理用代数描述”，这可以视为对量子化的一种理解。 

矩阵力学和波动力学统一在“变换理论”框架下，这使得具有深刻分析背景的 von Neumann 意识到，某种函数空间上的微分算子理论对应于波动力学，而这种空间的代数结构可以用来归纳矩阵力学，因为这种函数空间已经被 Hilbert 的学生 Schmidt 研究过，而大家普遍相信是 Hilbert 的思想引导了对这种函数空间的研究，所以 von Neumann 用了 Hilbert space 这个名字。 据数学史研究者澄清，Hilbert space 的主要思想基本来自于 Schmidt 本人。von Neumann 的名著〈量子力学的数学基础〉用分析和代数的结合体 －－－ 算子代数来描述量子物理，他的基本定理是 Stone-von Neumann 定理：由坐标和动量生成的“Heisenberg 代数” 只有唯一的自伴表示等价类，其中一个代表的表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标和动量分别表示为算子 .  这种对量子理论的理解可以大致总结为“非交换”观点，因为 Hilbert 空间 可以被理解为来源于力学变量的“非交换性”（更准确地说是“几乎交换性”）。我个人认为最有希望切入量子化本质的“非交换几何”就是由 von Neumann 这一脉相承而来。 Feynman 发明了路径积分以后，量子理论看起来便不那么反传统了，路径积分的被积函数都是经典的，交换的力学量，被一个幺模复值泛函 加权，得到经典观测值。由量子力学的概率解释，经典观测值应该是可观察量特征值的期望，这样路径积分非常像概率模型，权泛函就像概率密度一样。这里其实我很不理解的是，作为传播子（又叫 Green 函数或基本解）， 的模方是粒子从 a 到 b 的迁移概率，而权函数本身的模方永远是 1，因而不能被视为概率密度。从这个角度来说，可观察量 的期望为什么是 是非常难以理解的一个巧合。

在从算子描述推演路径积分的过程中，如果用虚时间，就得到完美的概率解释。这相当于考虑欧氏指标的时空背景。在这种数学模型中，量子理论可以理解成某些无穷维空间上的特殊概率测度理论。由于路径积分在 non-abelian 规范理论，弦论中的关键作用，这个解释也是很多数学物理学家努力探索的方向。近些年在随机面的数学理论方向有很多发展，这相当于研究二维欧氏时空量子理论的数学基础。

在“一维欧氏时空”，量子的运动完全由 Brownian motion 的数学理论刻画。显然，这种刻画不适用于真实世界，因为时间是实数而不是虚数。Brownian motion 非常适合描述股票等金融产品的价格随机性，如今已广泛用于金融市场理论。股票价格可以视为以时间为指标的一个随机过程（或者本质等价的，路径空间上的一个高斯测度），而随机面理论相当于研究有两个实指标的随机过程，我们应该期望这个理论会有一些跟我们社会生活相关的重要应用。

对于量子这个概念有着许多种不同理解，也许说明这个概念还不是基本概念（至少从数学上来说）。现在言归正传，说说量子化与几何的微妙关系。 先从有限维自由度系统的量子化说起。最简单的是一维谐振子，其 Hamiltonian 是

.

经典相空间是余切丛 , 正则量子化把坐标和动量看成算子，满足交换关系

.

如果要求这个系统描述一个粒子的运动，态空间必须是不可约的，而以上交换关系的所有不可约表示都等价于前面提到的 Schrodinger 表示，表示空间是坐标的平方可积函数空间，坐标表示为乘法算子，动量表示为求导算子。Hamiltonian 现在成为一个线性微分算子，如果要求波函数在无穷远消失，Hamiltonian 的谱必须是离散的，而它本身是正定算子，所以存在最小本征值，所属的本征波函数代表的态叫做“真空”，可以显式解出。

从数学上来说，以上过程相当于先利用经典相空间上的辛形式定义出一个 Lie 代数 — Heisenberg 代数，再直接运用 Stone-von Neumann 定理写出 Heisenberg 代数的唯一自伴表示，表示空间里的真空态则由 Hamiltonian 的本征值问题给出。用物理学的说法，这相当于在 Schrodinger 表象或者（等价的）动量表象中进行计算。

现代量子力学教材上常见的是使用 Fock 表象，即构造复变量 

,

正则量子化把这个复变量看作算子，满足 . 如果有一态矢满足 , 那么所有矢量 组成以上交换关系的不可约表示，从而可以被视为单粒子系统的态空间。容易看到在 Schrodinger 表象下， 满足以上湮灭方程，既然对所有多项式 p, , 而且它们组成稠密子集，所以从代数上构造的 Fock space 可以等同于从分析上构造的 Schrodinger 表示空间。

从数学上来说，Fock 表象相当于在经典相空间上选取了一个“复结构”，使经典相空间成为一个复空间，而系统的态空间可以视为这个复空间上所有的“反全纯函数”组成的空间。这个空间如果要跟 Schrodinger 表象中的平方可积空间保持一致，我们选取的这个复结构就最好跟原来的辛结构有很密切的关系，这种“好”的复结构叫做辛空间上的“相容复结构”，后面再详细说明。

以上这两种从经典相空间构造态空间和真空态的方式，在数学中被总结为“实极化”和“复极化”，这里的“极化”当然跟物理学里的“极化”没有任何关系，我不知道这个名称的来源是什么。  （待续）    续写见新繁星客栈之望月殿 http://www.fxkz.net/forumdisplay.php?fid=4&page=1 

Short summary of relevant definitions
dimer.pdf

Full principal series (indexed by ):

where

It includes two unitary series:

Unitary principal series: when for some . In this series as unitary representations.

Complementary series: when , the above representatation becomes unitary w.r.t. the inner product

The trivial representation, the unitary principal series, and the complementary series are the only irreducible unitary representations of .

Let be a finite group. The question is how many homomorphisms there are form to Or equivalently how many solutions the equation (1) has in the group The answer is the following theorem due to A. D. Mednykh [S]:

Theorem: The number of solutions of (1) in is

where the sum runs over all the complex irreducible representation of

This result relates to the moduli space of flat connections evaluated in a finite group.

[S] A. N. Sengupta, A functional integral applied to topology and algebra, XIVth International Congress on mathematical physics, World Scientific, 2005, 527-532