Oct 14
现在我们一共有6个人，都是对拓扑或者数学物理有浓厚兴趣的。叫大家来的目的其实也并不是很清晰，最初我想的是有个可以自由输入Latex 的地方，大伙儿一起热闹热闹，交流，八卦，科普。说不定有什么思想的火花碰撞一下。最近我们有个小讨论班在学习物理，我也许会贴些学习心得。我们6个人都可以在这个地方发表文章，严肃的，生活化的都挺好，除了直接八卦数学江湖的内幕（含沙射影还是允许的）……
Oct 05
黎曼几何，就是1854年黎曼为了哥廷根大学的一个讲师职位准备的讲稿中创立的学问。似乎从这次演讲之后黎曼就再也没有在 这个课题上花什么时间。我猜想黎曼这次演讲纯粹是为了讨高斯的欢心，准备的三个题目都是高斯当时非常关心的问题。至于黎曼本人，反而对数论和复变函数更有 兴趣一些。黎曼这篇讲稿只有一个数学公式，就是下面这个公式：
这个公式看上去很普通，没有什么奇怪的符号。黎曼本人并没有解释这个公式是怎么来的，后人从一些基本设置出发得到这个公式花了大约40年。
我 试试解释这个公式。首先我们要假定这个世界上有一种爬虫，它们的视觉只能获得二维信息，或者说它们只能感觉到前后左右，而不能感觉到上下（这个假设其实同 时把引力忽略了，因为引力可以让爬虫感觉到上下）。这些爬虫住在山村里。这些村里的道路结构比较简单，分为大致东西向的和大致南北向的两类。有个爬虫想更 迅速地找到同村的别的人家，比较自然的办法当然是做一个村里的地图了。这个地图画在一张纸上，大致为东西向的那些道路被画成跟 x-轴平行的直线，而大致为南北向的那些道路被画成跟 y-轴平行的直线。这样村里每一处地方都被一对坐标 (x,y) 表示了。
然后这 个爬虫想，我怎么能最快地从一个地方到另一个地方去？沿着那些道路爬肯定不行，大家都知道三角形两边之和大于第三边，所以肯定要从道路之间地野地里爬过 去。它在地图上找到这个两个地方对应的两个点，然后连了一条直线，它希望如果沿着地图上这条直线的指示，它能最快地从一个地方到另一个地方去。
但 是奇怪的事情发生了，它发现有时候沿着地图上这条直线的指示，它花的时间反而要比平时凭感觉爬的时候花的时间多。它开始研究这个问题。首先当然是做实验 了，选定两个地方，比如它家和它女朋友家，然后每条路都试爬一下，计算时间（当然要假定它的爬速总是一定的）。经过多次实验，它找到了一条耗时最短的道 路。然后它在地图上画出这条最短道路，正如所料，这条最短道路在地图上是弯的。
它想，这种弯曲也许是由测量的误差累积造成的，因为它女朋 友家离它家比较远。所以它决定就在自家门口做实验。它从某一地点 p 出发，先沿着地图上的x-方向爬 dx 距离, 再沿着地图上的 y-方向爬 dy 距离, 到达一地点 q, 然后它找到一条最短的道路爬回 p, 认识到 p 和 q 之间的距离 ds 不等于 。它继续做实验，让 dx 和 dy 取不同的值，这样它找到了规律（函数关系）：
。紧接着它发现，这些
的值跟它的出发点的位置有关系，也就是说，这些
是坐标
的函数。综上所述，我们发现某个地点 p 周围的点到 p 的距离 ds（即最短路径的长度）跟 p 这一地点在地图上的坐标
的函数关系
。
1820 年的高斯就是一个在深山里想象爬虫的人，他从“外部”观察到了曲面（比如山峰之间像马鞍形状的那一部分表面）的弯曲性质，因为我们人类不只可以画“地 图”，还能画“地形图”，就是说，我们能使用三个坐标来描述曲面；高斯同时也想象到了爬虫从“内部”观察到曲面的方法，即，只使用两个坐标（爬虫的地 图）。然后他证明了他自己所谓“绝妙定理”，大意就是说我们人类用眼睛看得见的某种弯曲性质（高斯曲率），爬虫们在曲面上爬来爬去就能知道了。
用 数学语言就是说，曲面的高斯曲率不因为曲面在三维空间中呈现的形状不同而改变，而只跟曲面内在的距离性质有关。最简单的例子就是，一张纸，平放着也好，卷 成一个圆柱也好，卷成一个圆锥也好，它的高斯曲率都是0。在计算高斯曲率方面，爬虫比我们更有利：这张纸在空间怎么卷曲，对纸上的爬虫来说，任何两点之间 的距离没有任何改变，因此它们对高斯曲率的计算在这些情况下都是一样的，而我们人类的计算过程则跟曲面在空间中的形态有关。
黎曼呢，把自 己想象成了爬虫，对他而言，不存在高斯所陈述的那种三维空间的人类几何学和二维空间的爬虫几何学之间的关系。在黎曼看来，这个宇宙相对于我们人类就好比曲 面相对于爬虫。我们通过飞来飞去来探测宇宙的弯曲性质。当然，黎曼不止是想到了做三维的爬虫，他想到了作为 m 维的爬虫，怎么描述所在“高维空间”的几何。他在就职演讲中向大家说明，一个“均匀弯曲”的 m 维空间（其每一地点的所有方向的高斯曲率都是一个常数 K），如果我们画一个地图（现在不能说一张地图因为不再是二维的空间），每一个地点用 m 个坐标 来表示，那么距离微元 ds 跟坐标的函数关系就应该是开篇第一个公式。